# 翻译正文

## 数根的抽象乘法

dr 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 2 4 6 8 1 3 5 7 9
3 3 6 9 3 6 9 3 6 9
4 4 8 3 7 2 6 1 5 9
5 5 1 6 2 7 3 8 4 9
6 6 3 9 6 3 9 6 3 9
7 7 5 3 1 8 6 4 2 9
8 8 7 6 5 4 3 2 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

## 正式定义

$${\displaystyle S^{1}(n)=S(n), S^{m}(n)=S\left(S^{m-1}(n)\right),\ { m \ge 2.}}$$

### 示例

$$S(1853) = 17$$ $$S(17) = 8$$

$$S^2(1853)=8.$$

$${\displaystyle S^{*}(1853)=dr(1853)=8.}$$

## 同余公式

$$dr(n) = 1 + ((n - 1) \pmod 9)$$

(sequence A010888 in the OEIS)

$$dr(abc) = a * 10^2 + b * 10 + c * 1 \equiv a * 1 + b * 1 + c * 1 \equiv a + b + c \pmod 9$$